Giuseppe Peano.
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IMPORTANZA DEI SIMBOLI IN MATEMATICA.
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1915. Zanichelli Editore, BOLOGNA.
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ESTRATTO DA "SCIENTIA" Rivista di Scienza Vol. 18, ANNO NONO, 1915, N. 1.
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Trascrizione elettronica rivista e resa disponibile dalla
           Fondazione Ezio Galiano onlus
               http:\\www.galiano.it
      ad esclusivo uso dei privi della vista.
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Testo curato da: Catia Righi per il "Progetto Manuzio", iniziativa dell'Associazione Culturale "Liber Liber".
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PRESENTAZIONE.
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In questo articolo del 1915 il logico Giuseppe Peano tratta la funzione dei simboli usati in matematica che, oltre ad avere una scrittura pi breve rispetto a quella del linguaggio comune, hanno reso i calcoli pi facili.
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L'AUTORE.
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Giuseppe Peano (Spinetta di Cuneo, 27 agosto 1858, Cavoretto, 20 aprile 1932)  stato un matematico, logico e glottoteta italiano. Affascinato dall'ideale leibniziano della lingua universale, svilupp il "latino sine flexione", una lingua ausiliaria internazionale derivata dalla semplificazione del latino classico, con la quale cerc di tenere i suoi interventi ai congressi internazionali di Londra e Toronto.
Studi presso il Liceo classico Cavour. Assistente di Angelo Genocchi all'Universit di Torino, divenne professore di calcolo infinitesimale presso lo stesso ateneo a partire dal 1890.
Vittima della sua stessa eccentricit, che lo portava ad insegnare logica in un corso di calcolo infinitesimale, fu pi volte allontanato dall'insegnamento a dispetto della sua fama internazionale, perch "pi di una volta, perduto dietro ai suoi calcoli, dimentic di presentarsi alle sessioni di esame".
Ricordi del grande matematico (e non solo della vita familiare) sono raccontati con grazia e ammirazione nel romanzo biografico Una giovinezza inventata della pronipote Lalla Romano, scrittrice e poetessa.
Peano precis la definizione del limite superiore e forn il primo esempio di una curva che riempie una superficie (la cosiddetta "curva di Peano", uno dei primi esempi di frattale), mettendo cos in evidenza come la definizione di curva allora vigente non fosse conforme a quanto intuitivamente si intende per curva.
Fu anche uno dei padri del calcolo vettoriale insieme a Tullio Levi-Civita. Dimostr importanti propriet delle equazioni differenziali ordinarie e ide un metodo di integrazione per successive approssimazioni.
Come logico dette un eccezionale contributo alla logica delle classi, elaborando un simbolismo di grande chiarezza e semplicit. Diede una definizione assiomatica dei numeri naturali, i famosi "assiomi di Peano" che vennero poi ripresi da Russell e Whitehead nei loro Principia Mathematica per sviluppare la teoria dei tipi.
Ebbe ampi riconoscimenti negli ambienti filosofici pi aperti alle esigenze e alle implicazioni critiche della nuova logica formale.
Uno dei grandi meriti dell'opera di Peano sta nella ricerca della chiarezza e della semplicit. Contributo fondamentale che gli si riconosce  la definizione di notazioni matematiche entrate nell'uso corrente, come, per esempio, il simbolo di appartenenza (es: x ? A) o il quantificatore esistenziale.
Mor nella sua casa di campagna a Cavoretto, presso Torino, per un attacco di cuore che lo colse nella notte.".
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IMPORTANZA DEI SIMBOLI IN MATEMATICA.
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Lo splendido e altamente suggestivo articolo di Eugenio Rignano, Le forme superiori del ragionamento (in "Scientia", gennaio, febbraio e marzo 1915), mi induce a trattare una questione analoga, cio la funzione che i simboli hanno in matematica.
I simboli pi antichi e oggi pi diffusi sono le cifre dell'aritmetica 0, 1, 2, ecc., che noi imparammo verso il 1200 dagli Arabi, e questi dagli Indiani, che le usarono verso l'anno 400.
Il primo vantaggio che si vede nelle cifre  la brevit; i numeri scritti in cifre indo-arabiche sono molto pi brevi che gli stessi numeri scritti in tutte lettere in una nostra lingua, e sono anche in generale pi brevi degli stessi numeri scritti colle cifre romane I, X, C, M.
Ma un esame ulteriore ci fa vedere che le cifre non sono dei puri simboli stenografici, cio delle abbreviazioni del linguaggio comune; essi costituiscono una nuova classificazione delle idee. Cos se le cifre 1, 2,... 9 corrispondono alle parole "uno, due, ... nove", invece alle parole "dieci, cento" non corrispondono pi simboli semplici, ma i simboli composti "10, 100". E il simbolo 0 non ha alcun equivalente nel linguaggio volgare; noi lo leggiamo colla parola araba zero; i Tedeschi e Russi usano la parola latina nullo. Il simbolismo non consiste nella forma dei simboli; gli Europei usano le cifre sotto una forma fissata dopo l'invenzione della stampa, e molto diversa dalla forma delle cifre arabiche; tuttavia giustamente le nostre cifre diconsi indo-arabiche, perch hanno lo stesso valore delle corrispondenti cifre arabiche.
L'uso delle cifre non solo rende pi breve la scrittura, ma essenzialmente rende i calcoli aritmetici pi facili, e quindi rese possibili certi lavori, e permise di ottenere certi risultati, che altrimenti non si potrebbero praticamente ottenere.
Ad esempio, la misura diretta assegn al numero p, rapporto della circonferenza al diametro, il valore 3. La Bibbia ci informa che Salomone costrusse un vaso di getto di dieci cubiti di diametro e di trenta cubiti di circonferenza (Primo libro dei Re, 7, 23); onde p=3.
Archimede, 200 anni prima di Cristo, coll'inscrivere e circoscrivere poligoni alla circonferenza, o meglio col calcolare delle serie di radici quadrate, servendosi delle cifre greche, trov p a meno di 1/500. La sostituzione delle cifre indiane alle greche permise subito ad Aryabhata, verso il 500, di spingere il calcolo a 4 decimali, e permise ai matematici europei del 1600 di spingere il calcolo fino a 15 e poi a 32 cifre, sempre seguendo il metodo di Archimede. Il progresso ulteriore, cio il calcolo di 100 cifre, fatto nel 1700, e il calcolo moderno di 700,  dovuto all'introduzione delle serie.
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La stessa cosa si pu dire per i simboli dell'algebra +, -, , =, >, oggi di uso universale. Le equazioni algebriche sono molto pi brevi della loro espressione in linguaggio comune; sono pi semplici e pi chiare, e su esse si pu operare e fare dei calcoli. E ci perch i simboli algebrici sono simboli che rappresentano delle idee e non delle parole. Ad esempio, il simbolo + si legge pi; ma quel simbolo e questa parola non hanno lo stesso valore. Noi diciamo ad esempio "a  pi grande di b", e scriviamo in simboli "a > b", senza che alla parola pi corrisponda il segno +; e la frase "somma di a con b"  tradotta in simboli con "a + b", bench la frase non contenga la parola pi. Il simbolo + permette di rappresentare ci che nel linguaggio ordinario si esprime con "pi, somma", e anche "addizione, termine, polinomio". Parimenti il segno  rappresenta, senza esserne equivalente, le parole "moltiplicazione, prodotto, fattore, coefficiente". I simboli algebrici sono molto meno numerosi delle parole che essi permettono di rappresentare.
Oggi non si potrebbe concepire un'algebra senza simboli. In realt, tutte le proposizioni di algebra, che ora si studiano nelle scuole medie, si trovano in Euclide e in Diofanto, senza simboli. Ivi le parole del linguaggio ordinario hanno assunto un significato tecnico speciale, ed hanno gi il valore di simboli fonetici. Cos la frase euclidea "la ragione del numero a al numero b" vale esattamente il nostro simbolo ; la parola ragione, in Euclide , non ha che una lontana origine comune colla parola della lingua volgare, e colla logica che ne deriva.
L'evoluzione del simbolismo algebrico  questa: prima il lingaggio comune; poi in Euclide un linguaggio tecnico, in cui gi si stabilisce una corrispondenza univoca fra parole ed idee; poi l'abbreviazione delle parole del linguaggio tecnico, cominciata verso il 1500, per opera di molti e sotto forme diverse, finch un sistema di notazioni, quello usato da Newton, prevalse sugli altri.
L'uso dei simboli algebrici permette agli allievi delle scuole medie di risolvere facilmente quei problemi, che solo potevano risolvere le vaste menti di Euclide e di Diofanto, e permise la trattazione di tante nuove questioni algebriche.
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Il simbolismo del Calcolo infinitesimale  una continuazione dell'algebrico. Qui la storia  pi sicura. Archimede misur l'area di alcune figure, ricorrendo ad una forma di ragionamento detto "metodo di esaustione". Keplero nel 1605, Cavalieri nel 1639, Wallis nel 1665, ecc., dissero che l'area descritta dall'ordinata di una curva  la somma di tutte le ordinate. Leibniz abbrevi la parola somma nell'iniziale S, che Bernoulli chiam integrale, e che ora ha la forma di una S allungata.
L'esprimere l'area incognita mediante la somma di infinite ordinate, somma che non  definita, pare esprimere l'oscuro pel pi oscuro. Ma in realt questa somma o integrale ha le propriet fondamentali della somma ordinaria, il che facilita molto i calcoli. Le ordinate, la cui somma  l'area, sono gli indivisibili di Cavalieri, gli infinitesimi di Leibniz. La maggior parte dei geometri di quel tempo rifiutarono i nuovi metodi; dissero che con essi non si trovavano che risultati noti, e ci era vero fino ad un certo punto; dissero che i risultati ottenuti si potevano pure trovare coi metodi antichi, e lo provarono rifacendo le dimostrazioni col linguaggio di Archimede, il che  sempre possibile. Poi si stancarono, e il mondo adott il nuovo simbolismo, che  molto pi comodo.
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La Geometria si prest meno al simbolismo. La Geometria analitica d veste algebrica alle questioni geometriche.  un metodo di studio, potente in alcune ricerche, ma indiretto e spesso inferiore alla geometria elementare. Molti cercarono un calcolo che operasse direttamente sugli enti geometrici. Herigone nel 1644, Carnot nel 1801, e molti altri, costrussero dei simboli per dire "retta, piano, parallela, perpendicolare, triangolo, quadrato, ecc." E alcuni di essi sono usati in trattati moderni di geometria elementare. Ma questi sono simboli stenografici rappresentanti parole, e che non si prestarono ad alcun calcolo.
La moderna teoria dei vettori permette di trattare le questioni geometriche con un calcolo diretto simile al calcolo algebrico. L'idea di vettore trovasi, in germe, in Euclide; pi chiara in alcuni autori verso il 1800, e nel nostro Bellavitis nel 1832; questi li chiam segmenti, poich il segmento della geometria elementare  un ente molto simile al vettore. Ma l'uso con un nuovo significato d'una parola che gi ne possiede un altro,  causa di confusioni, tanto pi gravi quanto pi i due enti sono simili. Hamilton nel 1845 chiam vettore questo nuovo ente; e in due volumi ne spieg il calcolo semplicissimo, e lo applic alle questioni di geometria elementare, analitica, proiettiva, infinitesimale, alla meccanica, all'astronomia, alla fisica matematica, dando nuova forma pi semplice a risultati noti, e trovandone dei nuovi. Ma gli studii di Hamilton non passarono sul continente, finch Maxwell, pure inglese, adott questo metodo nell'esposizione delle sue teorie sull'elettricit e sul magnetismo.
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Oggi i vettori sono noti, almeno di nome, a tutti i matematici, e usati da molti, senza essere finora inclusi nei programmi ufficiali. Ora avvenne che varii autori si permisero di modificare le notazioni, di introdurre nuovi simboli non necessarii, di dare il nome di vettore ad altri enti simili ma non identici, riproducendo l'ambiguit che Hamilton aveva eliminata. Non parlo di quelli che attribuiscono ai vettori delle propriet contraddittorie, che rendono impossibile ogni calcolo. Ne origin una confusione tale che l'illustre matematico Laisant pose recentemente nel periodico "L'Enseignement mathmatique" di Ginevra, la questione Cosa  un vettore?
Questa arruffata matassa fu dipanata dai prof. Burali-Forti e Marcolongo, in alcuni articoli pubblicati nei "Rendiconti" di Palermo. Risult che le notazioni non si possono prendere ad arbitrio, ma debbono soddisfare a leggi definite. I suddetti professori, in unione ai prof. Boggio, Bottasso ed altri, hanno cominciato la pubblicazione d'una serie di volumi, ove sono trattate le principali applicazioni dei vettori. Sicch i pi bei libri su questa teoria, che una volta erano stampati in Inghilterra, ora sono pubblicati in Italia.
Che cosa  un vettore? Il vettore non  un segmento cui si aggiungano delle propriet. Il vettore non si pu definire colla geometria elementare, cio non si pu scrivere un'eguaglianza il cui primo membro sia la parola vettore, e il secondo membro sia un gruppo di parole della geometria elementare. Il vettore risulta da un segmento, o meglio da una coppia di punti, astraendo da alcune propriet. Si pu definire l'eguaglianza dei vettori.
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Essendo A, B, C, D dei punti, la scrittura A - B = C - D significa che i segmenti AB e CD sono di egual lunghezza, sono paralleli, e diretti nello stesso senso; cio che ABDC sono vertici consecutivi di un parallelogrammo; o in altre parole, che il punto medio di AD coincide col punto medio di BC; o anche in altre forme. Il vettore A - B  l'insieme delle propriet comuni a tutti i vettori C - D eguali ad A - B. In conseguenza si parler della somma di due vettori; ma non si parler dell'origine d'un vettore, della retta che lo contiene, di vettori adiacenti, ecc., perch sostituendo ad un vettore un suo eguale, l'origine pu cambiare.
La teoria dei vettori non presuppone nessuna cognizione di geometria analitica, e nemmeno di geometria elementare. Il prof. Andreoni la usa nella scuola industriale di Reggio Calabria, per spiegare la geometria; e si potrebbe benissimo spiegare in una scuola media.
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Il simbolismo della logica matematica, o calcolo logico, o algebra della logica, fu l'ultimo a comparire; ma gi nel suo attuale sviluppo si dimostra in nulla inferiore ai precedenti dell'aritmetica, dell'algebra, della geometria.
In qualunque libro di matematica sonvi termini, o simboli, che rappresentano idee di algebra o di geometria. I termini rimanenti, circa un migliaio, rappresentano idee di logica. La logica matematica classifica le idee di logica che si presentano nei libri di matematica, le rappresenta con simboli, ne studia le propriet, o regole del calcolo logico. Sicch tutto il libro risulta espresso in simboli, di matematica e di logica.(1)
Il primo vantaggio che si vede nei simboli di logica,  la brevit che essi producono. Cos il mio Formulario contiene trattazioni complete di aritmetica, di algebra, di geometria, di calcolo infinitesimale, definizioni, teoremi e dimostrazioni, il tutto in un piccolo volume, molto inferiore ai volumi che contengono le stesse cose espresse col linguaggio comune.
Poi si vede che, mentre le parole del linguaggio comune, che esprimono relazioni logiche, sono un migliaio, i simboli di logica matematica, che esprimono le stesse idee, sono una decina, tante quante le cifre arabiche. E ci in pratica, poich il prof. Padoa, nel libro citato, ha ridotto il numero dei simboli teoricamente necessarii a soli 3. Cos risulta che i simboli ideografici sono molto meno numerosi delle parole che permettono di esprimere; quindi non c' la corrispondenza univoca fra simboli e parole; quei simboli non sono abbreviazioni di parole, ma rappresentano delle idee.
Ma l'utilit principale dei simboli di logica si  che essi facilitano il ragionamento.
Tutti coloro che usarono il simbolismo logico ne attestarono la sua utilit.
Mario Pieri, rapito alla scienza nel fiore della sua attivit nel 1913, adott i simboli di logica in una serie di Memorie, relative ai principii della Geometria projettiva, e pubblicate dal 1895 in poi. Di massima importanza  il suo lavoro: Della geometria elementare come sistema ipotetico deduttivo. Le prime definizioni che si incontrano nei comuni trattati di geometria, le definizioni di punto, di linea, di retta, di superficie, ecc., non soddisfano un logico. Il dire che "la linea  una lunghezza senza larghezza"  esprimere l'ignota idea di linea per due idee pi ignote lunghezza e larghezza. Il Pieri pervenne ad analizzare e classificare le idee di geometria, e tutte le defin in funzione di due idee primitive: punto e distanza di due punti(2).
La pi grande opera tutta scritta in simboli ideografici, : A. N. Whitehead and B. Russell, Principia Mathematica.(3) Gli Autori, nella prefazione, spiegano l'utilit, anzi necessit, del simbolismo. Essi dicono di essere stati obbligati ad usare i simboli, a preferenza delle parole, poich le idee nel loro libro usate sono pi astratte di quelle considerate nel linguaggio ordinario; e quindi non sonvi parole che abbiano il valore esatto dei simboli. Anzi le idee astratte e semplici considerate nel loro lavoro mancano di espressione nel linguaggio comune, che rappresenta pi facilmente idee complesse. Perci il simbolismo  pi chiaro; permette di costruire serie di ragionamenti quando l'immaginazione sarebbe interamente inabile a sostenere s stessa senza aiuto simbolico. Ecc. Quest'opera tratta i principii dell'analisi e della geometria, la teoria degli insiemi di punti, gli infiniti, infinitesimi e limiti, e tutte le questioni pi difficili e controverse della matematica.
La logica matematica, utile nei ragionamenti matematici (ed in questo solo senso io ne feci uso), interessa pure la filosofia. Louis Couturat, morto per una disgrazia all'inizio della guerra del 1914, scrisse importanti e numerosi articoli nella "Revue de mtaphysique et de morale" ed in opuscoli e libri separati.
Si riconobbe che parecchie forme di sillogismo considerate in logica scolastica mancano d'una condizione. Che le regole per le definizioni date nei trattati di logica scolastica, non si applicano alle definizioni matematiche; e che viceversa queste soddisfanno ad altre regole che non si trovano nei comuni trattati di logica. Lo stesso avviene per le regole delle dimostrazioni matematiche, le quali non si possono ridurre al sillogismo della logica classica, ma bens assumono altre forme, completamente classificate.
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Bisogna dunque distinguere fra opere e opere di "logica matematica". Se giuste sono le critiche di Eugenio Rignano contro coloro che considerano la logica matematica quale scienza a s, i cui lavori,  verissimo, sono spesso poco proficui; invece pi non lo sarebbero all'indirizzo di coloro, quali quelli da me citati, che considerano la logica matematica come uno strumento utile per risolvere questioni matematiche resistenti ai metodi comuni. Del resto  quanto riconosce il Rignano stesso l dove afferma lo scopo completamente raggiunto e l'utilit del nostro Formulario. Che con un simile strumento simbolico nuovo si siano ottenuti risultati nuovi, risulta dalle dichiarazioni concordi degli autori che ne fecero uso. E che questi risultati nuovi siano importanti, risulta dal fatto che i lavori fatti col simbolismo logico furono letti, citati da numerosi autori, e servirono come base a nuove ricerche.
Torino, Universit.
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FINE.
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NOTE.
(1) Gli autori che usano i simboli di logica, sogliono spiegarli nella prima pagina dei loro lavori. La "Rivista di matematica", da me edita, tomo 7, pagine 3-5, contiene l'elenco di 67 lavori relativi alla logica matematica dal 1889 al 1900; e il Formulario matematico, da me pubblicato, edizione quinta, pag. 14-15, contiene l'elenco di 62 lavori dal 1900 al 1908. Altri comparvero dopo. Fra essi merita speciale menzione l'Algebra der Logik di Schrder, che contiene una ricchissima bibliografia, specialmente dei lavori pi antichi.
Il lettore che desidera avere pi ampie cognizioni su questo soggetto, pu consultare: C. BURALI-FORTI, Logica matematica, Milano, Manuali Hoepli, 1894, e il libro pi recente, e al corrente dei nuovi risultati: A. PADOA, La logique dductive dans sa dernire phase de dveloppement, Extrait de "Revue de mtaphysique et de morale", Paris, 1912.
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(2) I risultati cui pervenne il Pieri costituiscono un'epoca nello studio dei principii della Geometria. B. Russell, dell'Universit di Cambridge, nel suo libro The principles of Mathematics, 1903, dice del lavoro del Pieri "This is the best work on the present subject". E tutti coloro che in seguito trattarono dei principii della Geometria, si servirono ampiamente del lavoro del Pieri, e diedero dei giudizii equivalenti a quello riportato dal Russell. Citer Bocher, nel "Bulletin of the American mathematical Society", 1904, pag. 115, Wilson, nello stesso periodico, 1904, pag. 74; Huntington, nelle "Transactions" della stessa societ, in una serie di Memorie dal 1902 in poi, Veblen nello stesso periodico, 1904. Ecc., ecc.
Il Pieri in altri lavori, espose anche i risultati cui pervenne, senza far uso di simboli. Ma sempre volle affermare che Egli li ottenne servendosi dei simboli della logica matematica. Vedasi ad esempio la sua comunicazione al Congresso internazionale di filosofia, Parigi, 1900 col titolo La Gomtrie comme systme purement logique, specialmente a pag. 381.
E, incaricato del discorso inaugurale per l'anno 1906-07 nella R. Universit di Catania, il Pieri scelse come tema Uno sguardo al nuovo indirizzo logico-matematico delle scienze deduttive. Il discorso  stampato nell'"Annuario" di quella Universit, ed  una limpida esposizione di questo grande movimento scientifico, fatta in modo accessibile al pubblico non matematico, che ivi pu farsi rapidamente un'idea chiara della questione.
In quel periodo di tempo una schiera di illustri matematici italiani lavor nello stesso indirizzo. Sicch nel 1900, L. Couturat, mentre dichiara che "l'cole italienne avait atteint des rsultats merveilleux de rigueur et de subtilit", era ancora incerto "si l'on devait les attribuer  l'utilit du symbolisme logique on  la pntration des savants qui le manient"; ma nel 1905 afferma senza esitare, "que c'est l'instrument indispensable pour rejoindre la puret logique des concepts, et la rigueur dductive des raisonnements".
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(3) Fra gli Autori di altre opere importanti di logica matematica ci limitiamo a rammentare i seguenti:
Il prof. Huntington dell'Universit di Cambridge in America, il quale, nella serie di scritti pubblicati nelle "Transactions of the American Math. Society", a partire dal 1902, analizz le idee di grandezza, di numero reale, dei gruppi di sostituzioni, ecc., usando ivi parte il simbolismo logico, e dichiara servirsi dei lavori dei prof. Burali-Forti, Padoa, Couturat, Amodeo. Il prof. Moore dell'Universit di Chicago, il quale ha applicato il simbolismo della logica matematica a studiare il nuovo problema delle equazioni integro-differenziali, in una comunicazione nel quarto congresso matematico internazionale di Roma nel 1908, e poi nel libro Introduction to a Form of general Analysis, 1910. Lo stesso metodo fu applicato dalla Dottoressa Maria Gramegna, vittima del terremoto di Avezzano nel gennaio di quest'anno, nello scritto Serie di equazioni differenziali lineari, pubblicato in "Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino", 13 marzo 1910.
Menzioner ancora i lavori del prof. Cipolla dell'Universit di Catania, relativi alle congruenze, pubblicati nella "Rivista di Matematica". E il libro tanto apprezzato: G. Pagliero, Applicationes de calcalo infinitesimale, Torino, Paravia, 1907, tutti scritti in simboli. E nel campo didattico, i varii trattati di Aritmetica e di Algebra, del prof. Catania, in Catania, ove non si fa uso di simboli, ma vi si applicano i risultati della logica matematica, e cos ne risulta un'esposizione chiara, semplice e rigorosa; le quali qualit sono generalmente unite.  grazie ai collaboratori prof. Castellano, Vacca, Vailati ed altri, che il Formulario matematico pervenne allo stato attuale.
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